14-bob Tasodifiy o'zgaruvchilar | Data Science-ga kirish

14-bob Tasodifiy o'zgaruvchilar

Bu kitob sizga real vaqtda ma'lumotlarni tahlil qilish muammolarini hal qilishga yordam beradigan tushuncha va ko'nikmalarni taqdim etadi. Bu ehtimollik, statistik xulosa, chiziqli regressiya va mashinani o'rganish kabi tushunchalarni o'z ichiga oladi va R dasturlash, dplyr bilan ma'lumotlar tortishish, ggplot2 bilan ma'lumotlar vizualizatsiyasi, UNIX / Linux qobig'i bilan fayllarni tashkil qilish, GitHub bilan versiyalarni boshqarish va takrorlanadigan hujjat kabi ko'nikmalarni rivojlantirishga yordam beradi. R markdown bilan tayyorgarlik.
08.09.2021

Ma'lumotshunoslikda biz tasodifan tasodifan ta'sir qiladigan ma'lumotlar bilan shug'ullanamiz: ma'lumotlar tasodifiy namunadan olinadi, ma'lumotlar o'lchov xatosidan ta'sirlanadi yoki ma'lumotlar tasodifiy bo'lgan ba'zi natijalarni o'lchaydi. Tasodifiylik tomonidan kiritilgan noaniqlikni aniqlashga qodir bo'lish ma'lumotlar tahlilchisining eng muhim ishlaridan biridir. Statistik xulosalar buning uchun bir qator amaliy vositalarni taklif qiladi. Birinchi qadam - tasodifiy o'zgaruvchilarni matematik tarzda tasvirlashni o'rganish.

Bu bobda biz tasodifiy o'zgaruvchilar va ularning xususiyatlarini tasodif o'yinlariga qo'llashdan boshlab tanishtiramiz. Keyinchalik biz 2007-2008 yillardagi moliyaviy inqiroz bilan bog'liq ba'zi voqealarni ehtimollar nazariyasidan foydalanib tasvirlaymiz. Ushbu moliyaviy inqiroz qisman moliya institutlari tomonidan sotilgan ba'zi bir qimmatli qog'ozlar xavfini past baholash natijasida yuzaga keldi. Xususan, ipoteka kreditlari bilan ta'minlangan qimmatli qog'ozlar (MBS) va garovga qo'yilgan qarz majburiyatlari (CDO) xavf-xatarlari juda kam baholandi. Ushbu aktivlar, aksariyat uy egalari oylik to'lovlarini amalga oshirishi mumkin deb taxmin qilingan narxlarda sotilgan va bunday bo'lish ehtimoli past deb hisoblangan. Omillar kombinatsiyasi kutilganidan ko'ra ko'proq defoltlarni keltirib chiqardi, bu esa ushbu qimmatli qog'ozlar narxining pasayishiga olib keldi. Natijada,banklar shunchalik ko'p pul yo'qotdiki, ular to'liq yopilmasligi uchun hukumat yordamiga muhtoj edi.

14.1 Tasodifiy o'zgaruvchilar

Tasodifiy o'zgaruvchilar - bu tasodifiy jarayonlar natijasida kelib chiqadigan raqamli natijalar. Biz ko'rsatgan ba'zi oddiy misollar yordamida tasodifiy o'zgaruvchilarni osongina yaratishimiz mumkin. Masalan, agar boncuk ko'k va qizil bo'lsa, aks holda X ni 1 deb belgilang:

Bu erda X tasodifiy o'zgaruvchidir: har safar biz yangi boncukni tanlaganimizda, natija tasodifiy o'zgaradi. Pastga qarang:

Ba'zan 1, ba'zan esa 0 bo'ladi.

14.2 Namuna olish modellari

Biz o'rganadigan ma'lumotlarni ishlab chiqaradigan ko'plab ma'lumotlarni ishlab chiqarish protseduralari juda yaxshi modellashtirilishi mumkin, shuningdek, urnadan olinadi. Masalan, biz ehtimoliy saylovchilar uchun 0 va 1 kodli urndan 0 (respublikachilar) va 1 sonlar (demokratlar) tortishish jarayonini modellashtirishimiz mumkin. Epidemiologik tadkikotlarda biz tez -tez bizning tadqiqotimiz mavzusi qiziqqan aholidan tasodifiy tanlangan deb taxmin qilamiz. Muayyan natijaga oid ma'lumotlarni qiziqtirgan barcha aholi uchun natijani o'z ichiga olgan urndan tasodifiy namuna sifatida modellashtirish mumkin. Xuddi shunday, eksperimental tadqiqotlarda biz ko'pincha biz o'rganayotgan alohida organizmlar, masalan, qurtlar, pashshalar yoki sichqonlar, ko'proq populyatsiyaning tasodifiy namunasi deb taxmin qilamiz.Tasodifiy tajribalar, shuningdek, shaxslarni guruhlarga ajratish usulini hisobga olgan holda, urnadan tortib olinishi bilan ham modellashtirilishi mumkin: tayinlanganda siz guruhingizni tasodifiy ravishda chizasiz. Shuning uchun namuna olish modellari ma'lumotlar fanida hamma joyda keng tarqalgan. Kazino o'yinlari aniq savollarga javob berish uchun namuna olish modellari qo'llaniladigan haqiqiy vaziyatlarning ko'plab misollarini taklif etadi. Shuning uchun biz bunday misollardan boshlaymiz.

Aytaylik, juda kichkina kazino sizni ruletka g'ildiraklarini o'rnatish kerakligi to'g'risida maslahat olish uchun yollaydi. Misolni sodda tutish uchun biz 1000 kishi o'ynaydi va rulet g'ildiragida o'ynashingiz mumkin bo'lgan yagona o'yin qizil yoki qora ranglarga pul tikishdir. Casino ular qancha pul ishlashini yoki yo'qotishini taxmin qilishingizni istaydi. Ular bir qator qadriyatlarni xohlashadi va, xususan, pul yo'qotish ehtimoli qanday ekanligini bilishni istaydilar. Agar bu ehtimollik juda katta bo'lsa, ular rulet g'ildiraklarini o'rnatishga o'tadilar.

Biz tasodifiy o'zgaruvchini aniqlaymiz \ (S \), bu kazinoning umumiy yutuqlarini aks ettiradi. Keling, urni qurish bilan boshlaymiz. Ruletka g'ildiragida 18 ta qizil cho'ntak, 18 ta qora cho'ntak va 2 ta yashil cho'ntak bor. Shunday qilib, bitta rulet o'yinida rang o'ynash, bu urndan rasm chizish bilan barobar:

1000 kishining o'ynagan 1000 natijalari ushbu urnadan mustaqil ravishda olingan natijalardir. Agar qizil rang paydo bo'lsa, qimorboz g'alaba qozonadi va kazino bir dollar yo'qotadi, shuning uchun biz $ 1 chizamiz. Aks holda, kazino bir dollar yutadi va biz 1 dollar tortamiz. \ (S \) tasodifiy o'zgaruvchisini yaratish uchun biz ushbu koddan foydalanishimiz mumkin:

Biz 1s va -1s nisbatlarini bilganimiz uchun, biz rangni aniqlamasdan, bitta kodli chiziq bilan chizmalar yaratishimiz mumkin:

Biz buni namuna olish modelideb ataymiz, chunki ruletning tasodifiy xatti-harakatlarini urndan tortib olish namunalari bilan modellashtirmoqdamiz. Jami yutuqlar \ (S \) shunchaki ushbu 1000 ta mustaqil tirajlarning yig'indisi:

14.3 Tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti

Agar siz yuqoridagi kodni ishlatsangiz, \ (S \) har safar o'zgarishini ko'rasiz. Bu, albatta, chunki \ (S \) tasodifiy o'zgaruvchidir. Tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti bizga kuzatilgan qiymatning istalgan oraliqda tushish ehtimolini bildiradi. Masalan, biz pul yo'qotish ehtimolini bilmoqchi bo'lsak, \ (S \) ning \ (S

E'tibor bering, agar biz \ (F (a) = \ mbox (S \ leq a) \), unda \ (S tarqatish funktsiyasi deb ataymiz .

\ (S \) tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot funktsiyasini Monte-Karlo simulyatsiyasi yordamida tasodifiy o'zgaruvchining ko'plab realizatsiyasini yaratish orqali taxmin qilishimiz mumkin. Ushbu kod yordamida biz 1000 kishiga ruletni qayta -qayta, xususan \ (B = 10,000 \) marta o'ynash tajribasini o'tkazamiz:

Endi biz quyidagilarni so'rashimiz mumkin: bizning simulyatsiyalarimizda biz qanchalik tez -tez a dan kam yoki teng summani olganmiz?

Bu \ (F (a) \) ning juda yaxshi yaqinlashuvi bo'ladi va biz kazino savoliga osonlikcha javob bera olamiz: pul yo'qotish ehtimoli qanchalik katta? Ko'rinib turibdiki, bu juda past:

\ (S ()) ning taqsimlanishini \ (F (b) -F (a) \) ehtimolligini \ ((a, b] \)) ko'rsatadigan gistogramma yaratish orqali tasavvur qilishimiz mumkin:

Ko'ryapmizki, taqsimot taxminan normal. Qq-chizma normal taqsimot ushbu taqsimot uchun mukammal yaqinlashishga yaqinligini tasdiqlaydi. Agar, aslida, taqsimot normal bo'lsa, unda biz taqsimotni aniqlash uchun faqat o'rtacha va standart og'ish kerak. Chunki bizda taqsimot yaratiladigan asl qiymatlar bor, biz ularni o'rtacha (S) va sd (S) bilan osongina hisoblashimiz mumkin. Yuqoridagi histogramga qo'shilgan ko'k egri chiziq bu o'rtacha va standart og'ish bilan normal zichlik hisoblanadi.

Ushbu o'rtacha va ushbu standart og'ish maxsus nomlarga ega. Ular \ (S \) tasodifiy o'zgaruvchining kutilgan qiymati va standart xatosi deb nomlanadi . Bular haqida keyingi bo'limda ko'proq gapirib beramiz.

Statistik nazariya urndan mustaqil tasodifiy tortishish sifatida aniqlangan tasodifiy o'zgaruvchilarning taqsimlanishini olish usulini beradi. Xususan, yuqoridagi misolimizda \ ((S+n)/2 \) binomial taqsimotga amal qilishini ko'rsatishimiz mumkin. Shuning uchun \ (S \) ehtimollik taqsimotini bilish uchun Monte-Karlo simulyatsiyalariga kirishimiz shart emas. Biz buni tasviriy maqsadda qildik.

Biz dbinom va pbinom funksiyalaridan foydalanib, ehtimollarni aniq hisoblashimiz mumkin. Masalan, \ (\ mbox (S

\ [\ mbox 'ni hisoblash uchun biz pbinomdan foydalanishimiz mumkin (S \ leq 0) \]

Bu diskret ehtimollik funktsiyasi bo'lgani uchun \ (\ mbox) olish uchun \ (\ Mbox) o'rniga (S (S \ leq 0) \), biz yozamiz:

Binomial taqsimot tafsilotlari uchun har qanday asosiy ehtimollik kitobi yoki hatto Vikipediya 52-ga murojaat qilishingiz mumkin.

Bu erda biz bu tafsilotlarni qoplamaymiz. Buning o'rniga, biz matematik nazariya tomonidan taqdim etilgan, umuman istalgan urndan olingan yig'indilarning yig'indisi va o'rtacha qiymatiga taalluqli bo'lgan nihoyatda foydali yaqinlashishni muhokama qilamiz: Markaziy chegaralar teoremasi (CLT).

14.4 Tarqalishlar va ehtimollik taqsimotlari

Davom etishdan oldin, keling, raqamlar ro'yxatini taqsimlash va ehtimollik taqsimoti o'rtasida muhim farqni va aloqani yarataylik. Vizualizatsiya bobida biz har qanday raqamlar ro'yxati \ (x_1, \ nuqta, x_n \) qanday taqsimlanishini tasvirlab berdik. Ta'rif juda oddiy. Biz \ (F (a) \) ni ro'yxatning qaysi ulushi \ (a \) dan kichik yoki teng ekanligini bildiruvchi funksiya sifatida belgilaymiz. Agar ular taqsimot normal bo'lsa, ular foydali xulosalar bo'lgani uchun biz o'rtacha va standart og'ishni aniqlaymiz. Ular x sonlar ro'yxatini o'z ichiga olgan vektorning to'g'ri ishlashi bilan aniqlanadi:

\ (X \) tasodifiy o'zgaruvchisi tarqatish funktsiyasiga ega. Buni aniqlash uchun bizga raqamlar ro'yxati kerak emas. Bu nazariy tushuncha. Bu holda biz taqsimotni savolga javob beradigan \ (F (a) \) deb aniqlaymiz: \ (X \) \ (a \) dan kichik yoki unga teng bo'lish ehtimoli qanday? Raqamlar ro'yxati yo'q.

Ammo, agar \ (X \) tarkibiga raqamlar qo'yilgan urnadan rasm chizish orqali aniqlansa, unda ro'yxat mavjud: urn ichidagi raqamlar ro'yxati. Bunday holda, ushbu ro'yxatning taqsimlanishi \ (X \) ning ehtimollik taqsimoti bo'lib, ushbu ro'yxatning o'rtacha va standart og'ishi tasodifiy o'zgaruvchining kutilgan qiymati va standart xatosi.

Bu haqda o'ylamaslikning boshqa usuli - bu Monte -Karlo simulyatsiyasini ishga tushirish va \ (X \) natijalarining juda katta ro'yxatini tuzish. Bu natijalar raqamlar ro'yxati. Ushbu ro'yxatning taqsimlanishi \ (X \) ehtimollik taqsimotiga juda yaxshi yaqinlashadi. Ro'yxat qanchalik uzun bo'lsa, taxminiylik shunchalik yaxshi bo'ladi. Ushbu ro'yxatning o'rtacha va standart og'ishi tasodifiy o'zgaruvchining kutilgan qiymati va standart xatosini taxminiy ravishda oshiradi.

14.5 Tasodifiy o'zgaruvchilar uchun yozuv

Statistik darsliklarda tasodifiy o'zgaruvchilarni ko'rsatish uchun katta harflar ishlatiladi va biz bu qoidaga amal qilamiz. Kuzatilgan qiymatlar uchun kichik harflar ishlatiladi. Siz ikkalasini ham o'z ichiga olgan ba'zi yozuvlarni ko'rasiz. Masalan, siz \ (X \ leq x \) deb belgilangan hodisalarni ko'rasiz. Bu erda \ (X \) tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, uni tasodifiy hodisa qiladi va \ (x \) tasodifiy emas, balki ixtiyoriy qiymatdir. Masalan, \ (X \) o'lchagichdagi raqamni, \ (x \) esa biz ko'radigan haqiqiy qiymatni ifodalaydi, 1, 2, 3, 4, 5 yoki 6. Shunday qilib, bu holda \ (X = x \) ehtimoli kuzatilgan qiymatdan qat'iy nazar 1/6 ga teng (x (x \)). Bu yozuv biroz g'alati, chunki ehtimollik to'g'risida savollar berganda, \ (X \) kuzatilgan miqdor emas. Buning o'rniga, biz kelajakda ko'radigan tasodifiy miqdor. Biz nima kutayotganimiz, qanday qadriyatlar bo'lishi mumkinligi haqida gapirishimiz mumkin.lekin bu nima emas. Ammo ma'lumotlarga ega bo'lgandan so'ng, biz \ (X \) ning amalga oshirilishini ko'ramiz. Shunday qilib, ma'lumot olimlari aslida nima bo'lganini ko'rganimizdan keyin nima bo'lishi mumkinligi haqida gapirishadi.

14.6 Kutilayotgan qiymat va standart xato

Biz durang uchun namuna olish modellarini tavsifladik. Endi biz chizmalar yig'indisi uchun ehtimollik taqsimotini taxmin qilishga imkon beradigan matematik nazariyani ko'rib chiqamiz. Biz buni qilganimizdan so'ng, biz kazinoga qancha pul ishlashini taxmin qilishga yordam bera olamiz. O'tkazmalar yig'indisi uchun biz foydalanadigan bir xil yondashuv so'rovnomalar qanday ishlashini tushunishimiz kerak bo'lgan o'rtacha va nisbatlarning taqsimlanishini tavsiflash uchun foydali bo'ladi.

O'rganish kerak bo'lgan birinchi muhim kontseptsiya kutilgan qiymatdir . Statistik kitoblarda \ (\ mbox harfidan foydalanish odatiy holdir \) shunga o'xshash:

tasodifiy o'zgaruvchining \ (X \) kutilayotgan qiymatini bildirish.

Tasodifiy o'zgaruvchi kutilgan qiymat atrofida o'zgarib turadi, agar siz ko'plab, ko'p tortishishlarning o'rtacha qiymatini olsangiz, tortishishning o'rtacha qiymati kutilgan qiymatga yaqinlashadi va siz ko'proq tortishish chizig'iga yaqinlashasiz.

Nazariy statistika har xil sharoitda kutilgan qiymatlarni hisoblashni osonlashtiradigan metodlarni beradi. Masalan, foydali formuladan ma'lum bo'lishicha, bitta tortishish bilan aniqlangan tasodifiy o'zgaruvchining kutilayotgan qiymati urnadagi sonlarning o'rtacha qiymati hisoblanadi . Ruletkada qizil rangga pul tikish uchun ishlatiladigan urnda bizda 20 bitta dollar va 18 salbiy bir dollar bor. Kutilayotgan qiymat quyidagicha:

bu taxminan 5 sent. \ (X \) 0,05 atrofida o'zgarib turadi, deyish biroz mantiqiy emas, faqat bitta qiymat 1 va -1 bo'lsa. Bu erda kutilgan qiymatni tushunishning bir usuli, agar biz o'yinni qayta -qayta o'ynasak, kazino o'rtacha har bir o'yin uchun 5 tsent yutishini tushunamiz. Monte-Karlo simulyatsiyasi buni tasdiqlaydi:

Umuman olganda, agar urning ikkita mumkin bo'lgan natijasi bo'lsa, \ (a \) va \ (b \) deb ayting, mos ravishda \ (p \) va \ (1-p \) nisbatlari bilan o'rtacha:

Buni ko'rish uchun, agar bizda \ (n \) boncuklar bo'lsa, bizda \ (np \) \ (a \) s va \ (n (1-p) \) \ (b \) s bor. va o'rtacha yig'indisi \ (n \ marta a \ marta p + n \ marta b \ marta (1-p) \) jami \ (n \) ga bo'linib, o'rtacha \ ( ap + b (1-p) \).

Endi kutilgan qiymatni belgilashimizning sababi shundaki, bu matematik ta'rif yig'indining ehtimollik taqsimotini yaqinlashtirish uchun foydali bo'lib chiqadi, keyin o'rtacha va nisbatlarning taqsimlanishini tavsiflash uchun foydalidir. Birinchi foydali fakt shundaki, duranglar yig'indisining kutilgan qiymati :

Shunday qilib, agar 1000 kishi ruletka o'ynasa, kazino o'rtacha 1000 ga yaqin g'alaba qozonishini kutadi \ (\ marta \) $ 0,05 = 50 dollar. Ammo bu kutilgan qiymat. Bir kuzatuv kutilgan qiymatdan qanchalik farq qilishi mumkin? Casino, albatta, buni bilishi kerak. Imkoniyatlar diapazoni qanday? Agar salbiy sonlar juda katta bo'lsa, ular ruletka g'ildiraklarini o'rnatmaydi. Statistik nazariya bu savolga yana bir bor javob beradi. Standart xato (SE) bizga kutilgan qiymati atrofida o'zgaruvchanlik hajmi bir fikr beradi. Statistika kitoblarida quyidagilar keng tarqalgan:

tasodifiy o'zgaruvchining standart xatosini bildiradi.

Agar bizning chizmalarimiz mustaqil bo'lsa, unda yig'indining standart xatosi tenglama bilan berilgan:

Standart og'ish ta'rifidan foydalanib, biz bir oz matematikadan shuni bilib olamizki, agar urnida \ (p \) va \ ((1-p) nisbatli \ (a \) va \ (b \) ikkita qiymat bo'lsa. \), mos ravishda, standart og'ish quyidagicha:

Shunday qilib, bizning ruletka misolimizda urn ichidagi qiymatlarning standart og'ishi quyidagicha: \ (\ mid 1 - (-1) \ mid \ sqrt \) yoki:

Standart xato tasodifiy o'zgaruvchi va uni kutish o'rtasidagi odatiy farqni aytadi. Bitta durang shunchaki bitta durangning yig'indisi bo'lgani uchun, yuqoridagi formuladan foydalanib, bitta durang bilan aniqlangan tasodifiy o'zgaruvchining kutilgan qiymati 0,05 va standart xato taxminan 1 ga teng ekanligini hisoblashimiz mumkin. Bu mantiqiy, chunki biz 1 ga egamiz yoki -1, 1 ga nisbatan 1 ga ozgina ustunlik beriladi.

Yuqoridagi formuladan foydalanib, o'ynagan 1000 kishining yig'indisi 32 dollarga teng standart xatoga ega:

Natijada, 1000 kishi qizil pul tikkanida, kazino $ 32 standart xato bilan $ 50 yutishi kutilmoqda. Shunday qilib, bu xavfsiz garovga o'xshaydi. Ammo biz hali ham savolga javob bermadik: pul yo'qotish ehtimoli qanday? Bu erda CLT yordam beradi.

Kengaytirilgan eslatma: Davom etishdan oldin biz kazino yutuqlari uchun aniq ehtimollik hisob-kitoblari binomial taqsimot bilan amalga oshirilishi mumkinligini ta'kidlashimiz kerak. Biroq, bu erda biz tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisiga binomial taqsimlash mumkin bo'lmagan tarzda qo'llanilishi mumkin bo'lgan CLTga e'tibor qaratamiz.

14.6.1 SD aholisi SD namunasiga nisbatan

Ro'yxatning standart og'ishi x (quyida biz balandliklarni misol qilib keltiramiz) kvadratchalar farqlari o'rtacha kvadratining ildizi sifatida aniqlanadi:

Matematik yozuvlardan foydalanib quyidagilarni yozamiz:

\ [\ mu = \ frac \ sum_ ^ n x_i \\ \ sigma = \ sqrt \ sum_ ^n (x_i - \ mu)^2>\]

Ammo, shuni bilingki, sd funktsiyasi biroz boshqacha natija beradi:

Buning sababi shundaki, s funktsiyasi R ro'yxatning sd -ni qaytarmaydi, balki tasodifiy namunadagi \ (X_1, \ nuqta, X_N \) populyatsiyasining standart og'ishlarini baholaydigan formuladan foydalanadi, bu sabablarga ko'ra bu erda muhokama qilinmagan, kvadratlarning yig'indisini \ (N-1 \) ga bo'ling.

Siz shunday yozayotganingizni ko'rishingiz mumkin:

Bu erda muhokama qilingan barcha nazariyalar uchun siz aniqlangan standart og'ishni hisoblashingiz kerak:

Shuning uchun, R da sd funktsiyasidan foydalanganda ehtiyot bo'ling. Ammo shuni yodda tutingki, biz kitob davomida sd funktsiyasidan foydalanamiz. Buning sababi shundaki, agar ro'yxat kattaligi kattaroq bo'lsa, bu ikkitasi deyarli teng bo'ladi, chunki \ (\ sqrt \ taxminan 1 \).

14.7 Markaziy chegara teoremasi

Markaziy chegara teoremasi (CLT) bizga aytadiki, tanlov o'lchami deb ham ataladigan o'yinlar soni katta bo'lsa, mustaqil chizmalar yig'indisining ehtimollik taqsimoti taxminan normaldir. Namuna olish modellari juda ko'p ma'lumotlarni yaratish jarayonlarida ishlatilganligi sababli, CLT tarixdagi eng muhim matematik tushunchalardan biri hisoblanadi.

Ilgari, agar biz raqamlar ro'yxatining taqsimlanishi odatdagi taqsimot bilan taqqoslanganligini bilsak, biz ro'yxatni tasvirlash uchun faqat o'rtacha va standart og'ish kerakligi haqida suhbatlashdik. Biz bilamizki, xuddi shu ehtimollik taqsimotiga ham tegishli. Agar tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti normal taqsimot bilan taqqoslaganda, biz ehtimollik taqsimotini tavsiflashimiz kerak bo'lgan narsa kutilgan qiymat va standart xato deb ataladigan o'rtacha va standart og'ishdir.

Biz ilgari Monte-Karlo simulyatsiyasini o'tkazgan edik:

Markaziy chegara teoremasi (CLT) bizga \ (S \) summaning normal taqsimot bilan yaqinlashishini aytadi. Yuqoridagi formulalardan foydalanib, kutilgan qiymat va standart xatolar quyidagilardan iborat ekanligini bilamiz.

Yuqoridagi nazariy qiymatlar Monte -Karlo simulyatsiyasi yordamida olingan qiymatlarga mos keladi:

CLT-dan foydalanib, biz Monte-Karlo simulyatsiyasini o'tkazib yuborishimiz va buning o'rniga ushbu taxminiy yordamida kazino pul yo'qotish ehtimolini hisoblashimiz mumkin:

bu bizning Monte-Karlo natijasi bilan juda yaxshi kelishuvga ega:

14.7.1 Markaziy chegara teoremasi qanchalik katta?

CLT tirajlar soni ko'p bo'lganda ishlaydi. Ammo katta - bu nisbiy atama. Ko'pgina hollarda CLTni foydali qilish uchun 30tadan kam durang kifoya qiladi. Ba'zi bir aniq holatlarda, 10 ga etarlidir. Biroq, ularni umumiy qoidalar deb hisoblamaslik kerak. Masalan, muvaffaqiyatga erishish ehtimoli juda oz bo'lganida, biz namunaviy kattaroq o'lchamlarga ehtiyoj sezamiz.

Illyustratsiya yo'li bilan lotereyani ko'rib chiqaylik. Lotereyada yutish ehtimoli millionda 1dan kam. Minglab odamlar o'ynaydi, shuning uchun duranglar soni juda ko'p. Shunga qaramay, g'oliblar soni, duranglar yig'indisi 0 dan 4 gacha. Bu summa, albatta, normal taqsimot bilan yaxshi taqqoslanmagan, shuning uchun CLT juda katta tanlangan hajmda ham qo'llanilmaydi. Muvaffaqiyat ehtimoli juda past bo'lsa, bu odatda to'g'ri. Bunday hollarda Puasson taqsimoti ko'proq mos keladi.

Poisson taqsimotining xususiyatlarini dpois va ppois yordamida tekshirishingiz mumkin. Rpois yordamida ushbu taqsimotdan keyin tasodifiy o'zgaruvchilar hosil qilishingiz mumkin. Biroq, biz bu erda nazariyani qamrab olmaymiz. Siz Puasson taqsimoti haqida har qanday ehtimollik darsligidan va hatto Vikipediya 53 dan bilib olishingiz mumkin

14.8 O'rtachalarning statistik xususiyatlari

Biz yuqorida ishlatgan va ma'lumotlar bilan ishlashda tez -tez ishlatadigan bir nechta foydali matematik natijalar mavjud. Biz ularni quyida sanab o'tamiz.

1. Tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining kutilayotgan qiymati har bir tasodifiy o'zgaruvchining kutilgan qiymati yig'indisidir. Biz buni shunday yozishimiz mumkin:

\ [\ mbox [X_1 + X_2 + \ nuqta + X_n] = \ mbox [X_1] + \ mbox [X_2]+\ nuqta+\ qutisi [X_n] \]

Agar \ (X \) urnidan mustaqil tortishish bo'lsa, unda ularning barchasi bir xil kutilgan qiymatga ega. Buni \ (\ mu \) deb ataymiz va shunday qilib:

bu biz natijalarni chizish yig'indisi uchun ko'rsatadigan natijani yozishning yana bir usuli.

2. Tasodifiy bo'lmagan doimiy vaqtlarning kutilgan qiymati tasodifiy o'zgaruvchining kutilgan qiymati. Buni belgilar bilan tushuntirish osonroq:

Buning nima uchun intuitivligini ko'rish uchun birliklarning o'zgarishini ko'rib chiqing. Agar biz tasodifiy o'zgaruvchining birliklarini, dollardan sentgacha o'zgartirsak, kutish ham xuddi shunday o'zgarishi kerak. Yuqoridagi ikkita dalilning natijasi shundaki, xuddi shu o'rindan mustaqil tortishish o'rtacha qiymatining kutilayotgan qiymati urnning kutilgan qiymati bo'lib, uni yana \ (\ mu \) deb chaqiring:

\ [\ mbox [(X_1 + X_2 + \ nuqta + X_n) / n] = \ mbox [X_1 + X_2 + \ nuqta + X_n] / n = n \ mu / n = \ mu \]

3. Mustaqiltasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining standart xatosi kvadrati har bir tasodifiy o'zgaruvchining standart xatosi kvadratining yig'indisidir. Buni matematik shaklda tushunish osonroq:

Standart xatoning kvadrati statistik darsliklarda dispersiya deb ataladi . Shuni esda tutingki, ushbu xususiyat avvalgi uchtagidek intuitiv emas va statistik darsliklarda chuqurroq tushuntirishlar keltirilgan.

4. Tasodifiy bo'lmagan doimiy doimiy qiymatlarning tasodifiy o'zgaruvchining standart xatosi tasodifiy bo'lmagan doimiy doimiy qiymatlarning tasodifiy o'zgaruvchisidir. Kutish kabi: \ [\ mbox [aX] = a \ marta \ mbox [X] \]

Buning nima uchun intuitivligini ko'rish uchun yana birliklar haqida o'ylang.

3 va 4 natijalar shundan iboratki, xuddi shu o'rindan mustaqil tortishish o'rtacha standart xatosi \ n (n) sonining kvadrat ildiziga bo'linadigan urnning standart og'ishidir \ sigma \):

5. Agar \ (X \) odatda taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa, u holda \ (a \) va \ (b \) tasodifiy bo'lmagan doimiylar bo'lsa, \ (aX + b \) ham normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchidir. Biz faqat tasodifiy o'zgaruvchining birliklarini \ (a \) ga ko'paytirish orqali, so'ngra markazni \ (b \) ga o'zgartirish orqali qilamiz.

E'tibor bering, statistik darsliklar kutilgan qiymat va standart xatoni bildirish uchun yunoncha \ (\ mu \) va \ (\ sigma \) harflaridan foydalaniladi. Buning sababi shundaki, \ (\ mu \) - bu yunoncha harf (\ m (m)), o'rtacha qiymatning birinchi harfi , bu kutilgan qiymat uchun ishlatiladigan yana bir atama. Xuddi shunday, \ (\ sigma \) - standart xatoning birinchi harfi \ (s \) uchun yunoncha harf.

14.9 Katta sonlar qonuni

Yakuniy natijaning muhim xulosasi shundan iboratki, \ (n \) kattalashgan sari o'rtacha o'rtacha xatosi kichrayib boradi. \ (N \) juda katta bo'lsa, u holda standart xato amalda 0 ga teng bo'ladi va tortishish o'rtacha urnning o'rtasiga yaqinlashadi. Bu statistik darsliklarda katta sonlar qonuni yoki o'rtacha qonun deb nomlanadi.

14.9.1 O'rtacha qonunni noto'g'ri talqin qilish

O'rtachalar qonuni ba'zan noto'g'ri talqin etiladi. Masalan, agar siz har safar tangani 5 marta tashlasangiz va boshini ko'rsangiz, kimdir keyingi otish o'rtacha qonun tufayli quyruq bo'lishi mumkin degan bahsni eshitishingiz mumkin: o'rtacha 50% bosh va 50% dumni ko'rishimiz kerak. Xuddi shunga o'xshash dalil, qora rang ketma-ket besh marta paydo bo'lganini ko'rgandan keyin rulet g'ildiragida qizil rang "kerak" deb aytsa bo'ladi. Ushbu hodisalar mustaqil, shuning uchun tanga tushish boshlari ehtimoli 50%, avvalgi qat'i nazar 5. Bu ruletka natijasi uchun ham amal qiladi. O'rtacha qonun faqat tortishish soni juda katta bo'lganida va kichik namunalarda bo'lmaganida amal qiladi. Million chayqalishdan so'ng, siz birinchi beshta otish natijasidan qat'i nazar, taxminan 50% boshni ko'rasiz.

O'rtacha qonunni yana bir kulgili suiste'mol qilish - sportdagi televideniye efirga uzatuvchilari bir necha bor ketma-ket muvaffaqiyatsizlikka uchraganliklari sababli o'yinchi muvaffaqiyatga erishishini taxmin qilishganda.

14.10 Mashqlar

1. Amerika Ruletkasida siz ham yashil rangga pul tikishingiz mumkin. 18 ta qizil, 18 ta qora va 2 ta yashil rang bor (0 va 00). Yashil maydonchaning paydo bo'lishi ehtimoli qanday?

2. Yashil maydonda yutganlik uchun to'lov - 17 dollar. Bu shuni anglatadiki, agar siz bir dollar tiksangiz va u yashil rangga tushsa, siz 17 dollar olasiz. Sizning yutuqlaringiz uchun \ (X \) tasodifiy o'zgaruvchini simulyatsiya qilish uchun namuna yordamida namuna olish modelini yarating. Maslahat: qizil rangga pul tikishda qanday ko'rinishga ega bo'lishi uchun quyidagi misolni ko'ring.

3. \ (X \) ning kutilgan qiymatini hisoblang.

4. \ (X \) standart xatosini hisoblang.

5. Endi tasodifiy o'zgaruvchini \ (S \) yarating, bu 1000 marta yashil rangga tikishdan keyingi yutuqlaringiz yig'indisi. Maslahat: argument hajmini o'zgartiring va 2-savolga javobingizni o'zgartiring. Kodni urug'ni set.seed (1) bilan 1 ga o'rnatib boshlang.

6. \ (S \) ning kutilayotgan qiymati qanday?

7. \ (S \) ning standart xatosi nima?

8. Oxiri pul yutib olish ehtimoli qanday? Maslahat: CLT-dan foydalaning.

9. Monte-Karlo simulyatsiyasini yarating, u \ (S \) ning 1000 ta natijasini hosil qiladi. Olingan ro'yxatning o'rtacha va standart og'ishlarini hisoblang, natijalar 6 va 7 natijalarini tasdiqlaydi. Set.seed (1) yordamida urug'ni 1 ga o'rnatish orqali kodingizni ishga tushiring.

10. Endi Monte -Karlo natijasi yordamida 8 ga javobingizni tekshiring.

11. Monte-Karlo natijasi va CLT yaqinlashishi yaqin, ammo unchalik yaqin emas. Bunga nima sabab bo'lishi mumkin?

  1. 1000 ta simulyatsiya etarli emas. Agar ko'proq ish qilsak, ular mos keladi.
  2. Muvaffaqiyat ehtimoli kichik bo'lsa, CLT ham ishlamaydi. Bunday holda, bu 1/19 edi. Agar biz ruletka o'yinlarini ko'paytirsak, ular yaxshiroq mos keladi.
  3. Farq yaxlitlash xatosida.
  4. CLT faqat o'rtacha ko'rsatkichlar uchun ishlaydi.

12. Endi tasodifiy o'zgaruvchini yarating (bu Y =), bu sizning 1000 marta yashil maydonga pul tikgandan so'ng yutuqlaringizni o'ynatgandan so'ng o'rtacha har bir pul tikish yutug'ingiz.

13. \ (Y \) ning kutilayotgan qiymati qanday?

14. \ (Y \) ning standart xatosi nima?

15. Har bir o'yinga yutuq bilan yakunlanish ehtimoli qanday? Maslahat: CLT-dan foydalaning.

16. \ (Y \) ning 2500 natijasini keltirib chiqaradigan Monte-Karlo simulyatsiyasini yarating. Olingan ro'yxatning o'rtacha va standart og'ishlarini hisoblang, natijalar 6 va 7 natijalarini tasdiqlaydi. Set.seed (1) yordamida urug'ni 1 ga o'rnatish orqali kodingizni ishga tushiring.

17. Endi Monte -Karlo natijasi yordamida 8 ga javobingizni tekshiring.

18. Monte -Karlo natijasi va CLT yaqinlashuvi hozir ancha yaqinroq. Bunga nima sabab bo'lishi mumkin?

  1. Endi biz yig'indilar o'rniga o'rtacha qiymatlarni hisoblaymiz.
  2. 2500 ta Monte -Karlo simulyatsiyasi 1000 dan yaxshiroq emas.
  3. Namuna kattaligi kattaroq bo'lganda CLT yaxshi ishlaydi. Biz 1000 dan 2500 ga oshdik.
  4. Bu yaqinroq emas. Farq yaxlitlash xatosida.

14.11 Case study: Katta qisqa

14.11.1 Foiz stavkalari tasodifiy model bilan tushuntirilgan

Biz muhokama qilgan namuna olish modellarining yanada murakkab versiyalari banklar tomonidan foiz stavkalarini aniqlashda ham qo'llaniladi. Faraz qilaylik, siz to'lovlarni amalga oshirish uchun ishonchli bo'lishi mumkin bo'lgan uy -joy mulkdorlarini aniqlash tarixiga ega bo'lgan kichik bankni boshqarasiz. Aslida, tarixan, ma'lum bir yilda, sizning mijozlaringizning atigi 2 foizi defolt, ya'ni ular siz bergan pulni qaytarib bermaydilar. Ammo, siz shuni bilasizki, agar siz oddiygina hammaga foizsiz qarz bersangiz, bu 2% tufayli pul yo'qotasiz. Garchi siz mijozlaringizning 2 foizini sukut saqlashini bilsangiz ham, qaysi birini bilasiz. Shunday bo'lsa -da, har bir kishiga qo'shimcha foiz to'lab, siz 2% zararni qoplashingiz va operatsion xarajatlaringizni qoplashingiz mumkin. Siz ham foyda ko'rishingiz mumkin, lekin agar siz foiz stavkasini juda baland qilib qo'ysangiz, mijozlaringiz boshqa bankka borishadi.Qaysi foiz stavkasini olish kerakligini hal qilish uchun biz ushbu faktlarning barchasi va ehtimollar nazariyasidan foydalanamiz.

Aytaylik, sizning bankingiz bu yil 180 ming dollarlik 1000 ta kredit beradi. Bundan tashqari, barcha xarajatlarni qo'shgandan so'ng, sizning bankingiz garovga qo'yilganligi uchun $ 200,000 yo'qotadi deb taxmin qiling. Oddiy qilib aytganda, bu barcha operatsion xarajatlarni o'z ichiga oladi. Ushbu stsenariy uchun namuna olish modeli quyidagicha kodlanishi mumkin:

E'tibor bering, yakuniy summa bilan aniqlangan umumiy yo'qotish tasodifiy o'zgaruvchidir. Yuqoridagi kodni har safar ishlatganingizda, siz boshqacha javob olasiz. Ushbu tasodifiy o'zgaruvchining tarqalishi haqida tasavvurga ega bo'lish uchun biz Monte-Karlo simulyatsiyasini osongina qurishimiz mumkin.

Bizga Monte -Karlo simulyatsiyasi kerak emas. O'rganganlarimizdan foydalanib, CLT bizga shuni aytadiki, bizning yo'qotishlarimiz mustaqil yutuqlar yig'indisi bo'lgani uchun, uning taqsimoti kutilgan qiymat va standart xatolar bilan taxminan normaldir.

Endi biz o'rtacha foizni buzishimizga kafolat berish uchun foiz stavkasini belgilashimiz mumkin. Asosan, biz har bir qarzga \ (x \) miqdorini qo'shishimiz kerak, bu holda u tirajlar bilan ifodalanadi, shunda kutilgan qiymat 0 bo'ladi. Agar \ (l \) ni garovga qo'yilgan zarar deb aniqlasak, biz kerak:

\ (x \) degan ma'noni anglatadi

yoki foiz stavkasi 0,023.

Biroq, bizda hali ham muammo bor. Garchi bu foiz stavkasi o'rtacha hisobda biz teng bo'lishni kafolatlasa -da, pul yo'qotish ehtimoli 50% ni tashkil qiladi. Agar bizning bank pul yo'qotsa, biz uni yopishimiz kerak. Shuning uchun biz foiz stavkasini tanlashimiz kerak, bu esa bunday bo'lishi mumkin emas. Shu bilan birga, agar foiz stavkasi juda yuqori bo'lsa, bizning mijozlarimiz boshqa bankka murojaat qilishadi, shuning uchun biz ba'zi tavakkal qilishga tayyor bo'lishimiz kerak. Aytaylik, biz pul yo'qotish imkoniyatimiz 100 dan 1 ga teng bo'lishini xohlaymiz, endi \ (x \) miqdori qanday bo'lishi kerak? Bu biroz qiyinroq. \ (S \) summasi quyidagicha bo'lishini istaymiz:

Bilamizki, \ (S \) taxminan normaldir. \ (S \) kutilgan qiymati

\ (n \) bilan, bu holda kreditlarni ifodalovchi tirajlar soni. Standart xato

Chunki \ (x \) ijobiy va \ (l \) salbiy \ (| xl | = xl \). E'tibor bering, bu faqat ilgari ko'rsatilgan formulalarning ilovasi, ammo yanada ixcham belgilar yordamida.

Endi biz statistikada juda keng tarqalgan matematik "hiyla" dan foydalanamiz. Biz hodisaning ikkala tomoniga bir xil miqdorlarni qo'shamiz va ayiramiz \ (S

Agar \ (\ mbox (S \ chap (\ frac [S]> [S]> [S]> [S]>\ o'ngda] \] Va esda tuting \ (\ mbox [S] \) va \ (\ mbox [S] \) - bu mos ravishda \ (S \) ning kutilgan qiymati va standart xatosi. Yuqorida biz faqat ikkala tomondan bir xil miqdorda qo'shish va bo'lishni qildik. Biz buni qildik, chunki endi chapdagi atama standart odatiy tasodifiy o'zgaruvchidir, biz uning nomini o'zgartiramiz \ (Z \). Endi biz bo'sh joyni kutilgan qiymat va standart xato uchun haqiqiy formula bilan to'ldiramiz:

Bu murakkab ko'rinishi mumkin, ammo \ (l \), \ (p \) va \ (n \) ning barchasi ma'lum bo'lgan miqdor ekanligini unutmang, shuning uchun oxir-oqibat ularni raqamlar bilan almashtiramiz.

Endi Z kutilayotgan qiymati 0 va standart xato 1 bo'lgan odatiy tasodif bo'lgani uchun

tenglama to'g'ri bo'lishi uchun. \ (Z = \) qnorm (0.01) bizga \ (z \) qiymatini berishini yodda tuting:

Demak, bu murakkab tenglamaning o'ng tomoni \ (z \) = qnorm (0.01) bo'lishi kerak.

Bu hiyla-nayrang ishlaydi, chunki biz ma'lum bo'lgan \ (z \) miqdoriga teng bo'lishi kerakligini biladigan \ (x \) ifodasini topamiz. \ (X \) uchun echim endi oddiygina algebra:

Bizning foiz stavkamiz hozir 0,035 gacha ko'tariladi. Bu hali juda raqobatbardosh foiz stavkasi. Ushbu foiz stavkasini tanlab, endi biz har bir kredit uchun kutilgan foyda olamiz:

kutilayotgan umumiy foyda:

Nazariy taxminlarimizni qayta tekshirish uchun biz Monte -Karlo simulyatsiyasini ishga tushirishimiz mumkin:

14.11.2 Katta qisqa

Xodimlaringizdan biri ta'kidlashicha, bank har bir kredit uchun 2124 dollar ishlab topayotgani sababli, bank ko'proq kredit berishi kerak! Nima uchun shunchaki \ (n \)? Siz \ (n \) mijozlarini topish qiyin bo'lganini tushuntirasiz. Sizga oldindan taxmin qilinadigan va defoltlar ehtimolini past darajada ushlab turadigan guruh kerak. U shuni ko'rsatadiki, defolt ehtimoli yuqori bo'lsa ham, biz kutgan qiymat ijobiy bo'lsa ham, \ "n \" ni ko'paytirish va katta sonlar qonuniga tayanish orqali yo'qotish ehtimolini kamaytirishingiz mumkin.

U da'vo qiladiki, agar standart stavka ikki baravar yuqori bo'lsa ham, masalan, 4%, agar biz bu qiymatdan biroz balandroq bo'lsa:

foyda olamiz. 5% miqdorida bizga quyidagilarning ijobiy kutilayotgan qiymati kafolatlanadi:

va ((n \)) miqdorini shunchaki oshirish orqali pul yo'qotish ehtimolimizni minimallashtirishi mumkin:

\ [\ mbox (S \ chap (Z < - \ frac [S]> [S]>\ o'ngda] \] \ (Z \) standart tasodifiy o'zgaruvchisi bilan ko'rsatilgan. Agar biz \ (\ mu \) va \ (\ sigma \) ni mos ravishda urnning kutilgan qiymati va standart og'ishi deb aniqlasak (ya'ni bitta kredit bo'lsa), yuqoridagi formulalar yordamida bizda quyidagilar mavjud: \ (\ mbox [S] = n \ mu \) va \ (\ mbox [S] = \ sqrt \ sigma \). Agar \ (z \) = qnorm (0.01) ni aniqlasak, bizda: \ [ - \ frac \ sigma>= - \ frac \ mu>= z \], demak, agar biz ruxsat bersak:

\ [n \ geq z^2 \ sigma^2 / \ mu^2 \] bizga 0,01 dan past ehtimollik kafolatlangan. Buning ma'nosi shundaki, \ (\ mu \) ijobiy ekan, biz yo'qotish ehtimolini kamaytiradigan \ (n \) topa olamiz. Bu katta sonlar qonunining bir shakli: \ (n \) katta bo'lganda, bizning bir kredit bo'yicha o'rtacha daromadimiz \ (\ mu \) kutilgan daromadga yaqinlashadi.

\ (X \) sobit bo'lsa, endi biz \ \ n \ \ ehtimolligi 0,01 bo'lishi uchun bizga nima kerak? Bizning misolimizda:

kreditlar, yo'qotish ehtimoli taxminan 0,01 ni tashkil qiladi va biz jami daromad olishimiz kutilmoqda

dollar! Buni Monte -Karlo simulyatsiyasi yordamida tasdiqlashimiz mumkin:

Bu aql bovar qilmaydiganga o'xshaydi. Natijada, sizning hamkasbingiz sizning bankingizni tark etishga va o'zining yuqori xavfli ipoteka kompaniyasini ochishga qaror qiladi. Bir necha oydan so'ng hamkasbingizning banki bankrot bo'ldi. Kitob yoziladi va oxir -oqibat do'stingiz va boshqa ko'pchilik qilgan xatolar haqida film suratga olinadi. Nima bo'ldi?

Sizning hamkasbingiz sxemasi asosan quyidagi matematik formulaga asoslangan edi: \ [\ mbox [(X_1 + X_2 + \ nuqta + X_n) / n] = \ sigma / \ sqrt \]

\ (N \) ni katta qilib, biz har bir kredit bo'yicha daromadimizning standart xatosini kamaytiramiz. Ammo, ushbu qoidani bajarish uchun \ (X \) lar mustaqil tortishish bo'lishi kerak: bitta defolt bajaruvchi boshqalar bajarilmasdan mustaqil bo'lishi kerak. E'tibor bering, xuddi shuhodisani qayta -qayta takrorlashda, mustaqil bo'lmagan hodisalarning eng misoli, biz \ (\ sqrt \) marta kattaroq: \ [\ mbox [(X_1 + X_1 + \ nuqta + X_1) / n] = \ mbox [n X_1 / n] = \ sigma>\ sigma / \ sqrt \]

Dastlabki hamkasbingiz yugurtirganidan ko'ra aniqroq simulyatsiya yaratish uchun, yuqori xavfli ipoteka kreditlari bilan hammaga ta'sir qiladigan va ularning ehtimolligini o'zgartiradigan global voqea sodir bo'lgan deb taxmin qilaylik. Biz taxmin qilamizki, 50-50 tasodif bilan barcha ehtimolliklar biroz yuqoriga yoki pastga 0,03 dan 0,05 gacha ko'tariladi. Ammo bu hamma uchun birdan sodir bo'ladi, faqat bitta odam emas. Ushbu tirajlar endi mustaqil emas.

E'tibor bering, biz kutgan foyda hali ham katta:

Biroq, bankning salbiy daromad olish ehtimoli quyidagicha:

Hatto qo'rqinchli tomoni shundaki, 10 million dollardan ko'proq yo'qotish ehtimoli:

Bu qanday sodir bo'lishini tushunish uchun tarqatishga qarang:

Nazariya butunlay buziladi va tasodifiy o'zgaruvchining kutilgandan ko'ra ko'proq o'zgaruvchanligi bor. 2007 yildagi moliyaviy inqirozga, boshqa narsalar qatorida, moliyaviy ekspertlar, agar ular bo'lmaganida, mustaqillikka erishdilar.

14.12 mashqlari

1. Agar siz 10 000 ta kredit bersangiz, sukut bo'yicha stavka 0,3 ga teng bo'lsa va siz har bir musodara qilishda 200 000 AQSh dollar yo'qotsangiz, bankingiz daromadi bilan tasodifiy o'zgaruvchini yarating. Maslahat: oldingi bo'limda ko'rsatgan koddan foydalaning, lekin parametrlarni o'zgartiring.

2. Monte-Karlo simulyatsiyasini \ (S \) uchun 10,000 natijalari bilan boshqaring. Natijalarning gistogrammasini tuzing.

3. \ (S \) ning kutilayotgan qiymati qanday?

4. \ (S \) ning standart xatosi qanday?

5. Aytaylik, biz 180 000 AQSh dollarilik kreditlar beramiz. Biz kutgan qiymat 0 ga teng bo'lishi uchun foiz stavkasi qanday bo'lishi kerak?

6. (Qattiqroq) pul yo'qotish ehtimoli 20 dan 1 ga teng bo'lishi uchun foiz stavkasi qanday bo'lishi kerak? Matematik yozuvlarda foiz stavkasi \ (\ mbox) bo'lishi uchun qanday bo'lishi kerak (S

7. Agar bank pul yo'qotish ehtimolini minimallashtirishni xohlasa, qaysi biri foiz stavkasini oshirmaydi?

Onlayn kazino
O'yin -kulgi avtomatlari
Onlaynkazino

Bizning yangiliklarimizga obuna bo'lish orqali birinchi eksklyuziv taklifni oling va eng yaxshi onlayn kazinolarda har kungi ajoyib chegirmalarimizdan foydalaning!