O'tishsiz zarlar

O'tishsiz zarlar

Biz g'ayrioddiy zarlar to'plamini va ikki kishilik o'yinni tasvirlaymiz, bu erda siz har doim ustunlikka ega bo'lasiz. Siz hatto raqibingizga o'yin qanday ishlashini o'rgatishingiz mumkin, lekin baribir yana g'alaba qozonasiz! Nihoyat, biz uchta o'yinchi uchun yangi o'yinni tasvirlab beramiz, bu erda siz ikkala o'yinchini bir vaqtning o'zida mag'lub etishingiz mumkin! Jeyms Grim va Devid Shpigelhalterning o'ngdagi videoda o'tmaydigan zarlarni namoyish etishini ko'ring va batafsil ma'lumot uchun o'qing!
08.09.2021

Bu erda siz do'stingiz bilan o'ynashingiz mumkin bo'lgan o'yin. Bu uchta o'yindan iborat ikkita o'yinchi uchun o'yin. Bu zarlar odatiy zar emas, chunki ular 1 dan 6 gacha bo'lgan qiymatlar o'rniga, har xil noodatiy qiymatlarni ko'rsatadi.

Har bir o'yinchi o'limni tanlaydi. Keyin ikkita zar bir -biriga o'raladi va kim eng yuqori bahoga ega bo'lsa, u g'alaba qozonadi. Hali etarlicha adolatli ko'rinadi, o'nta rulonli o'yinda, siz har doim g'alaba qozonish imkoniyati yuqori bo'lgan o'limni tanlay olasiz - do'stingiz qaysi o'limni tanlamasin. Va siz bu zarlarni hozir uyda qilishingiz mumkin.

Mana uchta maxsus zar to'plami:

Har bir o'lim oltita yuzga ega, lekin faqat ikkita qiymatga ega:

Qizil: 3 3 3 3 3 6

Moviy: 2 2 2 5 5 5

Zaytun: 1 4 4 4 4 4

Ko'rsatish mumkin (pastga qarang) uzoq muddatda Qizil qolip ko'kni, ko'k zaytunni o'ldiradi. Ko'rinib turibdiki, qizil o'lim - kuchli o'lik, zaytun matoni - zaif o'lik. Shunday qilib, siz Qizilning zaytun zarbasini urishini kutishingiz mumkin;

Agar shunday bo'lsa, biz zarlarni "o'tish davri" deb ataymiz, chunki g'olib bo'lgan mulk o'rtadagi qolip orqali, ko'k o'ladi. [1]

Keling, hisob -kitobni misol qilib keltiraylik va shuni ko'rsatamizki, uzoq muddatda Qizil qolipning ko'k qolipni urish ehtimoli ko'proq.

E'tibor bering, siz Qizil qolipni siljitganingizda ikkita natija bo'lishi mumkin; siz yo 3 yoki 6 ni siljitasiz. 3 ni siljitish ehtimoli 5/6, 6 ni siljitish ehtimoli esa 1/6.

Boshqa tomondan, Moviy qolip har birining ehtimolligi 1/2 ga teng bo'lgan 2 yoki 5 ni siljitishi mumkin. Umuman olganda, agar biz qizil va ko'kni birgalikda o'ldirsak, bizda to'rtta natija bo'lishi mumkin.

Men barcha mumkin bo'lgan natijalar uchun daraxt diagrammasini chizishim mumkin. Siz har bir natijaning ehtimolini diagramma bo'ylab ehtimollarni ko'paytirish orqali topasiz. Masalan, 5 -sonli qizil qolipli va 2 -sonli ko'k qolipli 5/6 x 1/2 = 5/12.

Agar men "Qizil o'lim" ning g'alaba qozonish ehtimolini topmoqchi bo'lsam, "Qizil o'lim" "ko'k" ni o'ldiradigan barcha natijalar ehtimolini qo'shaman. Shunday qilib, bu holda, qizil qolipning ko'k o'lik bilan urish ehtimoli 7/12 ni tashkil qiladi - eng muhimi, bu 1/2 dan ko'p.

Xuddi shu tarzda, zangori qolip zaytun qolipini, so'ngra zaytun qolibi qizil o'likdan ustun kelishini ko'rsatish mumkin. Bu erda siz buyurtmani eslay olasiz, chunki ranglar qizil rangga o'ralguncha so'zlar uzunligini oshiradi.

Shunday qilib, sizning raqibingiz birinchi bo'lib tanlagan ekan, siz har doim g'alaba qozonish ehtimoli yuqori bo'lgan o'limni tanlashingiz mumkin, o'rtacha yutish ehtimoli 62% atrofida [2].

Bu o'tmaydigan uchta zar to'plami alohida ajralib turadi, chunki ular uchta zarning eng maqbul to'plami. Boshqacha aytganda, biz eng past yutuq ehtimolini maksimal darajada oshirdik. Ammo bu zarlarning ajablantiradigan yagona joyi bu emas.

Double Whammy

Bir nechta mag'lubiyatdan so'ng, do'stingiz shubhalanishi mumkin, ammo hamma narsa yo'qolmaydi. Zar bir -birini doira ichida qanday urishini tushuntirganingizdan so'ng, do'stingizni yana bir o'yinga taklif qiling.

Bu safar siz birinchi bo'lib tanlaysiz, bu holda sizning raqibingiz g'alaba qozonish ehtimoli ko'proq bo'lgan qolipni tanlashi kerak. Ammo keling, qoziqlar sonini ko'paytiraylik. Bu safar har bir o'yinchi o'zi tanlagan ikkitasini o'giradi, shunda eng ko'p to'plagan o'yinchi g'alaba qozonadi. Balki ikkita zar, raqibingiz g'alaba qozonish imkoniyatini atigi ikki barobarga oshirganini bildiradi. Ammo shunday emas, chunki ajablanarli darajada, ikkita zar bilan zanjirning burilish tartibi!

Boshqacha qilib aytganda, zanjir teskari tomonga buriladi, shuning uchun g'alaba doirasi endi mag'lubiyat doirasiga aylanadi. Endi Qizil qolip zaytunni, zaytun matoni ko'kni, ko'k ko'k esa qizilni o'ldiradi. Sizga yana o'yinda g'alaba qozonishga ruxsat bering! [3]

O'rtacha ikkita zar bilan yutish ehtimoli taxminan 57% ni tashkil qiladi [4]. Bir ogohlantirish so'zi bo'lsa ham; Qizil o'limning zaytun zarrasini urish ehtimoli 1/2 dan katta bo'lsa -da, bu nozik g'alaba. Qisqa muddatda, aytaylik, 20 tadan kam rulon, effekt 50-50 ga yaqinroq, shuning uchun sizga baribir omad kerak bo'ladi!

Efron Dice

O'tishsiz zarlar haqidagi g'oya 1970-yillarning boshidan beri mavjud [5]. Biroq, ajoyib teskari xususiyat, o'tishning barcha zarlari uchun to'g'ri emas, chunki siz o'z qadriyatlaringizni diqqat bilan tanlashingiz kerak. Misol uchun, bu erda o'tmaydigan zarlarning yana bir mashhur to'plami; Bu "Efron Dice" deb nomlanuvchi va amerikalik statistik Bred Efron tomonidan ixtiro qilingan to'rtta o'tmaydigan zarlar to'plami:

Bu safar zarlar 0 dan 6 gacha bo'lgan qiymatlarni ishlatadi.

Moviy: 3 3 3 3 3 3

Qizil: 2 2 2 2 6 6

Zaytun: 1 1 1 5 5 5

Qizil: 0 0 4 4 4 4

Oldinlar singari, zarlar aylana hosil qiladi, bu erda ko'k o'lim Magenta mag'lubiyatga uchraydi, magenta zaytun o'ladi, zaytun qoli qizil o'ladi, qizil o'lim ko'k o'ladi va ularning har biri ehtimol bilan shunday qiladi. 2/3 dan. Bu safar men ranglarni alifbo tartibida buyurtma qildim.

Efron Dice eng yaxshi yutuq ehtimoli nazariy yuqori chegaraga erishganligi uchun maqbuldir.

Bizda aylanada bir -biriga qarama -qarshi bo'lgan ikkita juft zar ham bor. Aslida, Magenta o'limi qizil o'limdan ustun keladi, lekin ko'k va zaytun o'lishi tengdir, ularning har birida g'alaba qozonish ehtimoli 50% ni tashkil qiladi va hech kim o'lmaydi.

Afsuski, "Moviy o'lim" ni tanlagan o'yinchi juda ham hayajonli o'yin o'tkazmaydi, barcha qiymatlar 3 -raqamdan iborat. Bundan tashqari, bu zanjir zar sonini ikki barobarga oshirganda, siljishning ajoyib xususiyatini ko'rsatmaydi [7].

Aytishlaricha, muvaffaqiyatli amerikalik sarmoyador Uorren Baffet o'tmaydigan zarlarning muxlisi. U do'sti Bill Geytsni Efron zarlari bilan o'yinga chorlaganida, Bill shubhalana boshladi va Uorrenni birinchi bo'lib tanlashni talab qildi. Balki, agar Uorren teskari xususiyatli to'plamni tanlaganida, u Geytsni mag'lubiyatga uchratgan bo'lardi - u ikkalasini tanlagandan so'ng, ular o'yinning bitta yoki ikkita zarli versiyasini o'ynayotganlarini e'lon qilishlari kerak edi.

Uch o'yinchi o'yini

Men shuni bilishni xohlardimki, uchta o'yinchi o'yini, zarlar to'plami, bu sizning do'stlaringizdan ikkitasi o'lishi mumkin, lekin siz ikkala raqibni ham mag'lub etish uchun yaxshiroq imkoniyatga ega bo'lishingiz mumkin. bir vaqtning o'zida!

Ma'lum bo'lishicha, yo'l bor. Gollandiyalik jumboq ixtirochisi M. Oskar van Deventer [8] 1 dan 21 gacha bo'lgan qiymatlarga ega bo'lgan 7 ta o'tmaydigan zarlar to'plamini o'ylab topdi [9]. Bu erda ikkita raqib har biri ettita to'plamdan qolipni tanlashi mumkin, lekin ularning har birini mag'lub etish ehtimoli yuqori bo'lgan uchinchi o'lim bo'ladi. Ehtimollar 5/9 ehtimolini ko'rsatuvchi diagrammadagi har bir o'q bilan juda nosimmetrikdir.

Bu shuni anglatadiki, biz bir vaqtning o'zida ikkita o'yin o'tkaza olamiz, lekin siz hali ham ikkita raqibingizni bir vaqtning o'zida mag'lub qila olasizmi degan savol bor.

Agar zarlar oddiy zar bo'lsa, ikkita raqib 50-50 g'alaba qozonish imkoniyatiga ega bo'lsa (durangga e'tibor bermaslik), bir vaqtning o'zida ikkita raqibni mag'lub etish imkoniyati atigi 25%ni tashkil qiladi. Bu aniq 25% emas, chunki bitta o'yinchini mag'lub etish boshqa o'yinchini mag'lub etishdan mustaqildir - ko'p sonli to'pni yurganda, ikkalasini ham mag'lub etish ehtimoli bor!

Biroq, bu zarlar adolatli emas. Garchi siz ikkala raqibdan ustun bo'lsangiz ham, har ikkala o'yinchini mag'lub etish hali ham qiyin, buning ehtimoli 39%atrofida.

Bu etti zar to'plami to'liq yo'naltirilgan grafikni hosil qiladi. Xuddi shu tarzda, to'rtta o'yinchi uchun 19 zar kerak bo'ladi. Bunday to'plam mavjud yoki yo'qligi noma'lum.

Ammo, agar teskari xususiyatga ega bo'lgan o'tish bo'lmagan zarlar to'plamini qurish mumkin bo'lsa, unda etti o'yindan kam uchta o'yinchi bo'lishi mumkin. Va, ehtimol, bunday to'plam bir vaqtning o'zida ikkita o'yinchini mag'lub etish imkoniyatimizni yaxshilashi mumkin. Men quyida shunday to'plamni o'ylab topdim.

Grime Dice

Bu erda beshta o'tmaydigan zarlar to'plami:

Bu zarlar 0 dan 9 gacha bo'lgan qiymatlarni quyidagicha ishlatadi;

Qizil: 4 4 4 4 4 9

Sariq: 3 3 3 3 8 8

Moviy: 2 2 2 7 7 7

Qizil: 1 1 6 6 6 6

Zaytun: 0 5 5 5 5 5

Bu beshta zar to'plami biz ko'rgan boshqa zar to'plamlariga o'xshaydi, chunki bizda zanjir bor: Moviy>Magenta>Zaytun>Qizil>Sariq>Moviy.

Biroq, bizda ikkinchi zanjir ham bor, u erda Qizil>Moviy>Zaytun>Sariq>Qizil / Qizil.

E'tibor bering, birinchi zanjir alifbo tartibida, ikkinchi zanjir so'z uzunligi bo'yicha tartiblangan.

Umuman olganda, alifbo tartibida zanjir so'z uzunligi bo'yicha zanjirdan kuchliroqdir. Ammo agar do'stingiz sizni bitta zanjir yordamida topsa, ikkinchisiga o'tishingiz mumkin.

Umuman olganda, bitta o'lim uchun o'rtacha g'alaba qozonish ehtimoli 63% ni tashkil qiladi [10].

Agar bizning uchta o'tmaydigan zarlarning asl to'plami "Rok, qog'oz, qaychi" o'yiniga o'xshagan bo'lsa, bu diagramma "rok, qog'oz, qaychi, kaltakesak, spok" bilan bog'liq, lekin o'ta o'tilmaydigan o'yinga yaqinroq. [11].

Ammo bu ham emas, chunki agar siz ushbu beshta zarning kichik guruhlarini hisobga olsangiz, siz boshqa o'tmaydigan zanjirlarni topasiz! Xususan, zanjirda so'z uzunligi bo'yicha tartiblangan birinchi uchta zar; bu qizil, ko'k va zaytun; men yuqorida ta'riflagan uchta o'tmaydigan zarlarning optimal to'plamining nusxasi. Shunday qilib, bu beshta zar to'plami bilan siz uchta zarning eng maqbul to'plamini bepul olasiz! Darhaqiqat, zanjirda ketma-ket uchta zar zarbasi so'z uzunligi bo'yicha tartiblangan uchta zar bo'laklarini hosil qiladi.

Va bu ham emas, chunki alifbo zanjiridagi ketma-ket to'rtta zar to'rtta o'tmaydigan zarlar to'plamini hosil qiladi. Bu zanjirning birinchi to'rtligi; bu Moviy, Qizil, Zaytun va Qizil; to'rtta zarning optimal to'plamining nusxasi emas, lekin ular Efron zarlari kabi o'rtacha yutish ehtimoliga ega.

Ikki zar bilan zanjir so'z uzunligi bo'yicha aylantirildi, shuning uchun Magenta>Sariq>Zaytun>Moviy>Qizil>Magenta.

Boshqa tomondan, alifbo zanjiri o'zgarmaydi - bitta istisno bilan, Qizil -Zaytun o'qi teskari. Buni kutish kerak, chunki Qizil, Moviy va Zaytun uchta optimal to'plamining nusxasini tashkil qiladi.

Ikki zar bilan, so'z uzunligi bo'yicha tartiblangan zanjir alifbo zanjiridan kuchliroqdir. Ikki zar uchun o'rtacha yutish ehtimoli 59% [12].

Biroq, ikkita qizil zarning ikkita zaytun zarini urish ehtimoli 50%ga yaqin. Agar biz bu zarlarni teng deb hisoblasak, biz bir vaqtning o'zida ikkita o'yin o'ynay olamiz.

Ikkita raqibni har birini tanlashga taklif qiling, lekin siz xoh bitta o'yinda, xoh ikkita zar o'yinida o'ynang.

Agar sizning raqiblaringiz alfavit bo'yicha bir -birining yonida ikkita zarni tanlasalar, o'yinning bitta versiyasini o'ynang. Har bir raqibni mag'lub qila oladigan o'limni tanlash uchun bitta o'lik o'yin sxemasidan foydalaning.

Qimor o'yini

Ammo, biz bir vaqtning o'zida boshqa ikki futbolchini mag'lub etishini kutishimiz mumkinmi? Biz, albatta, imkoniyatni yaxshiladik, har ikki raqibni mag'lub etishning o'rtacha ehtimoli hozirda 44% atrofida - Oskar Dicega nisbatan 5% va adolatli zarlarga nisbatan 19% ga yaxshilandi! [13] Xo'sh, agar ikkita o'yinchini mag'lub etish ehtimoli 50% dan oshmasa, qanday qilib g'alaba qozonamiz? Quyidagi qimor o'yinini ko'rib chiqing:

Ikki do'stingizni zar o'yiniga taklif qiling, u erda siz bir vaqtning o'zida ikkita raqibingiz bilan o'ynaysiz. Agar yutqazsangiz, raqibingizga 1 funt berasiz. Agar g'alaba qozonsangiz, sizga 1 funt beradi. Shunday qilib, agar siz ikkala futbolchini bir vaqtning o'zida mag'lub qilsangiz, siz 2 funt yutasiz; agar ikkala o'yinchiga ham yutqazsangiz, 2 funt yo'qotasiz; va agar siz bitta o'yinchini mag'lub qilsangiz, boshqasini urmasangiz, sizning aniq yo'qotishingiz nolga teng bo'ladi. Siz va do'stlaringiz 100 ta rulonli o'yin o'ynashga qaror qildingiz.

Agar zarlar adolatli bo'lsa, unda har bir o'yinchi nol yutishni kutadi - har bir o'yinchi yarmini yutadi va yarmini yo'qotadi.

Biroq, Oskar Dice bilan, siz har ikkala o'yinchini 39% mag'lub etishni kutishingiz kerak, va har ikkala o'yinchiga 28% vaqt yo'qotasiz, bu sizga 22 funt sof foyda keltiradi.

Ammo bundan ham yaxshiroq, Grime Dice bilan siz har ikkala o'yinchini 43,8% mag'lub etishingizni kutishingiz kerak, lekin har ikkala o'yinchiga ham 22,7% yutqazib, sizga o'rtacha sof foyda 42 funtga yaqinlashadi! (Va, ehtimol, ikkita sobiq do'stining yo'qolishi).

Bu to'plam men topgan bu xususiyatlarga ega bo'lgan beshta o'tmaydigan zarlarning eng yaxshi to'plami.

Men sizni ushbu o'yinlarni o'zingiz sinab ko'rishga taklif qilaman [14]. Ularni bo'sh zarlarga yozish yoki eski zarlarni o'zgartirish orqali qilish oson. Ularni sotib olish ham arzon va siz Maths Gear -dan beshta Grime Dice to'plamini olishingiz mumkin. Esda tutingki, beshta Grime zaridan iborat to'plamda uchta va to'rtta o'tishsiz zarlarning kichik to'plamlari, shu jumladan uchta optimal to'plam mavjud. Yoki, siz alohida -alohida uchta optimal to'plamni sotib olishingiz mumkin.

Ularni do'stlaringiz bilan sinab ko'ring va muvaffaqiyat va omadsizliklaringizdan zavqlaning!

[1] Transitivlikning boshqa misollari: Agar a, b va c haqiqiy sonlar bo'lsa, agar a>b va b>c bo'lsa, biz a>c ni bilamiz. Masalan, agar 9>4.6 va 4.6>5/3 bo'lsa, 9>5/3.

Agar a, b va c butun sonlar bo'lsa, b -ni (qoldiqsiz) qat'iy bo'linadigan bo'lsak, b -ni qat'iy ravishda bo'linadigan bo'lsa, demak, biz vni qat'iy bo'linishini bilamiz. Masalan, agar 3 | 15 va 15 | 60 bo'lsa, 3 | 60.

Oxirgi ikkita munosabatlar o'tish davri. Boshqa tomondan, agar a, b va c a+b>7 va b+c>7 bo'lgan butun sonlar bo'lsa, biz a+c>7 degan xulosaga kelolmaymiz. Bu munosabatlar o'tuvchi emas.

[2] To'liq ehtimolliklar: P (Qizil>Moviy) = 7/12, P (Moviy>Zaytun) = 7/12 va P (Zaytun>Qizil) = 25/36.

[3] Tim Rowett Gardner V uchun yig'ilishda (2002) tranzit bo'lmagan zarlar to'plamini taqdim etdi.

[4] Bu safar to'liq ehtimolliklar: P (Qizil>Zaytun) = 671/1296 (nozik g'alaba!), P (Zaytun>Moviy) = 85/144 va P (Moviy>Qizil) = 85/144.

[5] Gardner, M. "Matematik o'yinlar: o'tmaydigan zarlarning paradoksi va befarqlikning cheklangan printsipi". Ilmiy. Amer.223, 110-114, 1970 yil dekabr.

[6] Efron Dice: P (Moviy>Magenta) = 2/3, P (Magenta>Zaytun) = 2/3, P (Zaytun>Qizil) = 2/3, P (Qizil>Moviy) = 2/3, P (Moviy>Zaytun) = 1/2 va P (Magenta>Qizil) = 5/9

[7] Efron Dice ning ikkita to'plami uchun ehtimolliklar: P (Moviy>Qizil) = 5/9, P (Magenta>Moviy) = 5/9, P (Magenta>Zaytun) = 5/9, P (Zaytun>) Qizil) = 5/9, P (Magenta>Qizil) = 11/27, P (Qizil>Qizil) = 0, P (Magenta = Qizil) = 16/27 (durang), P (Moviy>Zaytun) = 1 /4, P (Zaytun>Moviy) = 1/4, P (Moviy = Zaytun) = 1/2. Oldingi kabi zanjir yo'q.

[10] Grime Dice, bitta qolipli versiya: P (Qizil>Moviy) = 7/12, P (Moviy>Zaytun) = 7/12, P (Zaytun>Sariq) = 5/9, P (Sariq>Magenta) = 5/9, P (Magenta>Qizil) = 5/9. P (Moviy>Magenta) = 2/3, P (Magenta>Zaytun) = 13/18, P (Zaytun>Qizil) = 25/36; P (Qizil>Sariq) = 13/18, P (Sariq>Moviy) = 2/3.

[11] Rok, qog'oz, qaychi, kertenkele, Spok uyi: http://www.samkass.com/theories/RPSSL.html Yoki agar bu haddan tashqari bo'lmasa, 101 imo -ishorali Rok, Qog'oz, Qaychi haqida nima deyish mumkin? RPS-101 http://www.umop.com/rps101.htm

[12] Grime Dice, ikkita zarli versiya: P (Magenta>Sariq) = 16/27, P (Sariq>Zaytun) = 56/81, P (Zaytun>Moviy) = 85/144, P (Moviy>Qizil) = 85/144, P (Qizil>Magenta) = 56/81. P (Moviy>Magenta) = 5/9, P (Magenta>Zaytun) = 7/12, P (Zaytun>Qizil) = 625/1296 (*), P (Qizil>Sariq) = 7/12, P (Sariq) >Moviy) = 5/9.

(*) Bu yengil mag'lubiyat! Biroq, butun songa yaxlitlanganda, kutilgan yutuqlar soni 28 tadan kam bo'lgan har bir narsa uchun 50% ga teng. Shuningdek, 95% hollarda biz yutuqlar sonini o'rtacha/standartdan ikki standart og'ish bo'lishini kutamiz. Buni hisobga olsak, ta'sir 50%dan unchalik farq qilmaydi.

[13] Ideal uch o'yinchi o'yinida biz ikki o'yinchini mag'lub etishning o'rtacha ehtimoli 50%dan yuqori bo'lishini xohlaymiz. O'rtacha, har bir g'alaba qozongan o'lim 70%dan yuqori ehtimollik bilan boshqasini mag'lub qilishi kerak. Ko'rinib turibdiki, uchta o'tish bo'lmaydigan zar uchun eng kichik yutish ehtimoli yuqori bo'lgan chegara yuqori chegaraga ega, ya'ni "Oltin nisbat konjugati" = 0.618. Yuqori chegarani olish mumkin emas va bu zarlarning tomonlari soniga bog'liq bo'ladi. Agar tomonlar soni Fibonachchi raqami bo'lsa, siz yuqori chegaraga eng yaqin kelasiz. Rowett Dice-bu olti qirrali uchta zarning eng maqbul to'plami. O'tkazilmaydigan to'rtta zar uchun yuqori chegara 2/3 ni tashkil qiladi - bu ma'noda Efron zarini maqbul qiladi, chunki eng kichik yutilish ehtimoli yuqori chegarani oladi. Besh zar uchun yuqori chegara 0,692.Bu yuqori chegaralar ketma -ketligi zarlar sonining ko'payishi bilan 3/4 ga yaqinlashadi. Tabiiyki, agar eng zaif o'lim yuqori chegaraga erishsa, o'rtacha yutish ehtimoli yanada yuqori bo'ladi. Manbalar; O'tishsiz zarlar paradoksi, Richard P. Savage, kichik Amerika matematik oylik, Vol. 101, No 5 (1994 yil may), 429-436-betlar http://www.jstor.org/stable/2974903 va; S. Trybula, n tasodifiy o'zgaruvchilar paradoksida, Zastos. Mat. 8 (1965), 143-154.N tasodifiy o'zgaruvchilar paradoksida Zastos. Mat. 8 (1965), 143-154.N tasodifiy o'zgaruvchilar paradoksida Zastos. Mat. 8 (1965), 143-154.

[14] Juda qiziquvchilar uchun matematik konstantalardan foydalanadigan to'plam: A: 1 1 1 1 1 π; B: Φ Φ Φ eee; C: 0 φ φ φ φ φ; bu erda e - Eyler raqami, φ - oltin nisbat va Φ - oltin nisbat konjugati. Bu zarlar o'tmaydigan to'plamni tashkil qiladimi? Ikki zar bilan nima deyish mumkin, tartib avvalgidek teskari ketadimi?

Onlayn kazino
O'yin -kulgi avtomatlari
Onlaynkazino

Bizning yangiliklarimizga obuna bo'lish orqali birinchi eksklyuziv taklifni oling va eng yaxshi onlayn kazinolarda har kungi ajoyib chegirmalarimizdan foydalaning!